Variante Goldberg: noi forme pentru cuști moleculare

În cel mai recent vers al unui refren matematic vechi de secole, oamenii de știință au găsit o modalitate de a elimina ridurile dintr-o clasă mare de cuști moleculare. Cuștile au fețe formate din 12 pentagoane regulate și până la 480 de hexagoane neregulate, ceea ce le plasează într-o categorie binecunoscută de forme numite fullerene. Cu toate acestea, spre deosebire de majoritatea fullerenelor cunoscute anterior, sutele de fețe ale noilor forme sunt mai degrabă plate decât deformate, iar atomii din moleculă sunt distanțați în mod egal.

Fețele plate ale formelor le fac poliedre convexe, un tip de solid foarte simetric, fațetat, studiat pentru prima dată de grecii antici. Prima clasă descoperită, numită solidele platonice, constă din solide cu fețe identice care sunt toate poligoane regulate, adică forme cu laturi și unghiuri egale. Există doar cinci astfel de solide, dintre care cel mai complicat este icosaedrul (familiar jucătorilor ca formă de zaruri cu 20 de fețe). O clasă mai puțin restrictivă, numită solidele arhimediene, permite fețelor să aibă forme diferite, deși trebuie să fie totuși poligoane regulate. O clasă și mai puțin restrictivă, descoperită de Johannes Kepler în 1611, permite fețe patrulatere cu lungimi laturi egale, dar unghiuri inegale.

Noile forme nu se încadrează în niciuna dintre aceste categorii. „Aceasta este prima nouă clasă de poliedre convexe, echilaterale, cu simetrie icosaedrică în 400 de ani”, spune neurologul Stan Schein de la UCLA. În poliedrele lui Schein, fețele hexagonale au lungimi laturi egale, dar unghiuri inegale. Lucrarea lui Schein, pe care a realizat-o împreună cu neurologul de la UCLA James Gayed, apare pe 10 februarie în Proceedings of the National Academy of Sciences.

Mult timp provincia matematicienilor, poliedrele au atras un interes din ce în ce mai mare în secolul al XX-lea din partea biologilor și chimiștilor. În 1962, Aaron Klug și Donald Caspar au descoperit că anumiți viruși au formă de icosaedru. În 1985, chimistul Richard Smalley și colegii săi au descoperit că carbonul formează cuști de 60 sau mai mulți atomi. Ei au numit forma de 60 de atomi „buckminsterfullerene”, deși era deja cunoscută de matematicieni ca un icosaedru trunchiat – și de neoamenii de știință ca o minge de fotbal.

Schein a ajuns la moleculele în formă de cușcă pentru că era curios despre clatrina, o proteină care se adună singură în cuști. Făcând modele fizice și computerizate ale acestor forme, a fost surprins că unele dintre ele erau, spune el, „urâte”: dacă ar fi făcut marginile la fel de lungi, nu ar putea face ca fețele să se întindă. De fapt, toate fulerenele, altele decât dodecaedrul cu 20 de atomi și mingea de fotbal cu 60 de atomi, au acest defect. Cu toate acestea, imaginile cu ei tind să îndepărteze aceste distorsiuni. „Mulți oameni spun că fulerenele sunt poliedre convexe, dar din punctul de vedere al geometrului, fețele unui poliedru trebuie să fie plane”, spune Schein. În plus, fețele se deformează în așa fel încât solidul nu poate fi convex.

Schein a dezvoltat o modalitate de măsurare a deformarii, pe care o numește discrepanța unghiului diedric. Dacă deschideți o felicitare astfel încât marginea de jos să se deschidă doar la un unghi de 30 de grade, în timp ce marginea de sus se deschide la 90 de grade, veți fi forțat să deformați partea din față a felicitării. Discrepanța, de 60 de grade, măsoară cât de mult warp este necesar. Schein a experimentat apoi cu diferite fulerene, pentru a vedea dacă discrepanța unghiului diedric poate fi setată la zero.

A fost surprins să descopere că, pentru o anumită clasă de fulerene numită poliedre Goldberg, toate fețele se pot aplatiza simultan. Aceste solide au fost descoperite în 1937 de matematicianul Michael Goldberg. Sunt fullerenele cele mai simetrice, cu toate simetriile de rotație ale unei mingi de fotbal sau ale unui icosaedru.

Poliedrele de tip Goldberg pe care Schein și Gayed le-au găsit au fețe hexagonale cu laturi de lungimi egale, dar nu unghiuri egale, precum și fețe pentagonale care păstrează atât laturile egale, cât și unghiurile egale. În plus, ele păstrează simetria de rotație de 60 de ori a poliedrelor Goldberg originale. Folosind software de calculator, echipa a construit astfel de poliedre cu până la 980 de vârfuri.

Când numărul de vârfuri este mare, aceste poliedre sunt greu de diferențiat de o sferă. Prin contrast, fulerenele convenționale se apropie de o formă distinct nerotunjită. Rotunjimea poliedrelor Goldberg le-ar putea face mai utile pentru aplicațiile în care o formă sferică contează – să zicem, pentru proiectarea unor modele mai bune de gropițe pe o minge de golf. Fețele plate le-ar putea face un model relevant pentru cuștile moleculare cu legături duble, subliniază Schein, deoarece astfel de legături sunt mai rezistente la deformare decât legăturile simple.

Deși domeniile de studiu ale lui Schein și Gayed se aventurează departe de geometrie, matematicienii aplaudă descoperirea lor. „Este corect, iar rezultatul este nou”, spune Branko Grünbaum, matematician la Universitatea Washington din Seattle.

Matematicienii au trecut cu vederea poliedrele Goldberg echilaterale, spune Grünbaum, pentru că cercetătorii s-au preocupat mai mult de numărul și modelul fețelor decât de întrebări concrete, cum ar fi cât de lungi sunt laturile și care trebuie să fie unghiurile dintre ele. Egon Schulte, geometru la Universitatea Northeastern din Boston, este de acord. „Trebuie să-ți murdărești mâinile pentru a răspunde la aceste întrebări”, spune el.

Această atitudine s-ar putea schimba în curând. Matematicienii pot începe să caute clase suplimentare de poliedre convexe cu laturi egale, spune Schulte. „Nici nu este clar că există doar un număr limitat de clase.” Clubul care a început cu Platon și Arhimede ar putea avea mai mulți membri care urmează.

Nota editorului: Această poveste a fost actualizată pe 14 februarie 2014, pentru a corecta disciplina lui James Gayed.